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By Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

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1 1 1 1 1 1 1 1m Fall k = 1 ralIt der erste Faktor weg. im Fall k =n der zweite; das stOrt den Beweis aber nicht. 26 Gruppen, Definiert man nun eine Abbildung tp des Abschnittes (1, n -1) auf sich durch tp (v) = tp (v) (v< k) tp(v) =tp(v + 1) (v ~ k) so erhalt man: .. -k ,,-1 II a'l'(") = II a", (v) II a",(k-l+v)'a .. = II a",(v),a", 1 1 1 1 also nach der Induktionsvoraussetzung = .. -1 .. · a" = II a •• 1 Aus der bewiesenen Regel folgt, daB man bei abelschen Gruppen berechtigt ist zu einer Schreibweise wie z.

Beispiel 2. Das System der Quaternionen. msei wiederum der Korper der reellen oder rationalen Zahlen, @ ein vierdimensionaler Vektorraum mit den Basiselementen e, j, k, l. Die Multiplikationsregeln + ee=e; ej=je=j; jj=kk=ll=-e; ek=ke=k; jk=l; kl=j; lj=k; el=le=l; kj=-l; lk=-j jl=-k sind assoziativ, aber nicht kommutativ. Wir erhalten also einen nichtkommutativen Ring mit Einselement e. Die Vielfachen ae werden mit den Zahlen a identifiziert. Die Elemente a + bj + ck + dl heiJ3en Quaternionen. Wegen + bj + ck + d 1) = a + b + c + d hat jede von Null verschiedene Quaternion a + bj + ck + dl eine Inverse (a + b + c + d (a - bj - c k - dl).

26 Gruppen, Definiert man nun eine Abbildung tp des Abschnittes (1, n -1) auf sich durch tp (v) = tp (v) (v< k) tp(v) =tp(v + 1) (v ~ k) so erhalt man: .. -k ,,-1 II a'l'(") = II a", (v) II a",(k-l+v)'a .. = II a",(v),a", 1 1 1 1 also nach der Induktionsvoraussetzung = .. -1 .. · a" = II a •• 1 Aus der bewiesenen Regel folgt, daB man bei abelschen Gruppen berechtigt ist zu einer Schreibweise wie z. : oder (i=1, ... ,n; k=1, ... ,n), welche bedeutet, daB die Menge der Indexpaare i, k mit 1 :;;;;,i

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