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By Hans Kurzweil

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Example text

5 Sei N ∈ F[X], grad N ∈ {2, 3}. Besitzt N keine Nullstelle in F, so ist N irreduzibel. Beweis: Andernfalls besitzt N einen echten Teiler F . Dann hat F oder N den F Grad 1, besitzt also eine Nullstelle λ in F. Es folgt N (λ) = 0 entgegen der Voraussetzung. B. das Polynom A = X 2 + 1 ∈ F[X] . Sei F = Z2 . Dann ist 12 + 1 = 0, also A(1) = 0. Sei F = Z3 . Dann ist 12 + 1 = 2 = 22 + 1 und A besitzt keine Nullstelle in F . Deshalb ist A irreduzibel. Sei F = R . Da −1 kein Quadrat in R ist, besitzt A keine Nullstelle in F, A ist also irreduzibel.

Dann ist 12 + 1 = 0, also A(1) = 0. Sei F = Z3 . Dann ist 12 + 1 = 2 = 22 + 1 und A besitzt keine Nullstelle in F . Deshalb ist A irreduzibel. Sei F = R . Da −1 kein Quadrat in R ist, besitzt A keine Nullstelle in F, A ist also irreduzibel. Sei F = C und i die imagin¨are Einheit, also i2 = −1. Dann ist A = (X − i) · (X + i) . Man sagt, ein Polynom A ∈ F[X] zerf¨allt in Linearfaktoren, wenn es Produkt von linearen Polynomen ist; bis auf eine Normierung hat dann A in F[X] die Form A = (X − λ1 ) · (X − λ2 ) · · · (X − λn ) , n = grad A ; dabei sind λ1 , .

3 SATZ: ggT(A, N ) = C · N + D · A , grad D < n Wir setzen P : = Ce und Q : = De . 2 P ·N = Q ·A. 4 (Seite 38) ist es auch Vielfaches von kgV(A, N ). 1 Es folgt: grad kgV(A, N ) = grad A + n − grad G . 4 SATZ: kgV(A, N ) = A · Q = P · N Alles bis jetzt Behauptete ist auch im Ring Z richtig. 4 beruht allerdings auf Gradabsch¨atzungen, die sich nicht auf den Ring Z u¨bertragen lassen. 4 einen anderen Beweis – ohne Gradabsch¨atzungen, der ohne weiteres auch in Z funktioniert; das Argument ist etwas subtiler.

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