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52, 144-157; 890-898 (1946); H. S. Wall, Amer. Math. Monthly 52, 308-322 (1945). 126) Vgl. 125) E. Frank. 8, 51 18. Das Halbebenenproblem A1 A3 A 5 1 A2 A4 LI V = B4 ··· -B2v-2 BI - Ba ··· -B2v-a A2v-t A2v-2 - B2 - 0 0 0 0 0 B2 B4 BI Ba Av 0 B2v-2 At B2v-3 1 Aa A2 -Bv-1 A2v-3 A2v-4 0 0 Bv 0 Av-l 0 0 0 (1 < v < n). Sind sämtliche Werte Llv von Null verschieden, so ist die Anzahl N+ der Nullstellen von f(z) in der rechten Halbebene 9lz > 0 die Vorzeichenwechselzahl N+ = V(l, Llv Ll 2 , ••• , Lln)127 ) 3.

P- Nullstellen besitzt, und L1 0 arg l(z) die Gesamtänderung des Argumentes arg l(z) auf der Kurve C, so bestehen die Gleichungen p+=! (n- ~L1 0 argl(z)); p-=! (n+ ~L1 0 argl(z)). In diesem Zusammenhang ist noch ein anwendungsreiches Beweisprinzip zu erwähnen, das sich auf den Satz von E. Rouche}l6 ) stützt: Es sei (fj ein einfach zusammenhängendes, von einer doppelpunktfreien geschlossenen Jordankurve C berandetes Gebiet der Ebene. Sind F (z) und G(z) in (fj analytische Funktionen, die auf dem Rande C noch stetig sind und dort der Ungleichung IG(z) I< IF(z) I genügen, so besitzt H(z) = F(z) + G(z) in (f) ebensoviele Nullstellen wie F(z).

Heft 3, II 3 34, 8 Algebraische Gleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten vom Graden= mk wenigstens p Nullstellen im Kreisbereich Iz I -< r~ ~ m p m -p 1- 2 .. _JP mk-P besitzt. Andere, nicht so scharfe, indes auf wesentlich einfacherem Wege erreichbare Schranken für das gleiche Problem hat M. Marden 86 ) angegeben. Die Bestimmung optimaler Schranken Rh (a0 , av ... , aP ; mv m 2, ... , mk) in diesem Gedankenkreis scheint dadurch besonders erschwert zu sein, daß sie in starkem Maße von arithmetischen Beziehungen der Exponenten m 1, m 2, ...

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